Slope of Isothermal and Adiabatic Curve समतापी और रूद्धोष्म वक्र का ढाल

 

Slope of Isothermal and Adiabatic Curve

समतापी और रूद्धोष्म वक्र का ढाल




The curve between pressure and volume for a given mass of a gas for isothermal changes is called isothermal curve and the curve between pressure and volume for adiabatic changes is called adiabatic curve. 

किसी गैस के दिए गए द्रव्यमान के लिए, समतापी परिवर्तन के लिए, दाब और आयतन के बीच वक्र, समतापी वक्र कहलाता है और रूद्धोष्म परिवर्तन के लिए, दाब और आयतन के बीच वक्र रूद्धोष्म वक्र कहलाता है.

There are two isothermal curves, 1 at temperature T1 and 2 at temperature T2 in the given figure. 

A is the point with pressure P1, volume V1 and temperature T1 on the isothermal curve 1.

दिए गए चित्र में दो समतापी वक्र है, तापमान T1 पर वक्र 1 और तापमान T2 पर वक्र 2.

समतापी वक्र 1 पर एक बिन्दु A दाब P1, आयतन V1 और ताप T1 पर है

If gas expands from A by an isothermal process, the states of the gas are denoted by various points on the same curve , only the pressure falls, temperature remains the same. But if gas expands by an adiabatic process from A, and hence it may not receive heat from outside. Its temperature and pressure both will fall. 

यदि गैस बिन्दु A से समतापी प्रक्रम के द्वारा प्रसार करती है, गैस की विभिन्न अवस्थाएँ एक ही वक्र पर विभिन्न बिन्दुओं द्वारा प्रदर्शित की जाती है, केवल दाब कम होता है, तापमान समान रहता है. किन्तु यदि गैस बिन्दु A से रूद्धोष्म प्रक्रम से प्रसार करती है और इस लिए यह बाहर से ऊष्मा नहीं प्राप्त करती, इसके तापमान व दाब दोनों कम होते हैं.

If the final pressure, volume and temperature of the gas are P2,  V2  and T2 respectively, that state of the gas is displayed with point B on the isothermal curve 2 with temperature T2 . 

यदि अन्तिम बिन्दु का दाब, आयतन और तापमान क्रमशः P2,  V2  और T2 , गैस की वह अवस्था T2 तापमान वाले समतापी वक्र 2 पर बिन्दु B से प्रदर्शित है.

Since the expansion of gas from A to B is adiabatic, the curve connecting the point A and B is an adiabatic curve. 

It is evident from the diagram that in both the curves, the adiabatic curve is steeper than the isothermal one because for the same decrease in pressure in both the curves increase in volume is lesser in adiabatic expansion than the increase in volume in isothermal expansion. It is so because the temperature of the gas also decreases in the adiabatic expansion. 

चूकि A से B तक गैस का प्रसार रूद्धोष्म है, A और B को जोड़ने वाला वक्र रूद्धोष्म वक्र है.

चित्र से यह स्पष्ट है कि दोनों वक्रों मे रूद्धोष्म वक्र का ढलान समतापी वक्र से अधिक है क्योंकि दोनों वक्रों में समान दाब में कमी पर रूद्धोष्म प्रसार में आयतन में वृद्धि, समतापी प्रसार में होने वाली आयतन मे वृद्धि से कम है. ऐसा इस लिए है कि रूद्धोष्म प्रसार में गैस का तापमान भी घट जाता है.


For ideal gas the ratio of slope of adiabatic curve to isothermal curve. 

For an ideal gas, the equation of the isothermal curve is

PV = constant —------(1) 

Equation for adiabatic curve is

PVΓ = constant —------(2) 

From equation 1

PdV + VdP = 0

Hence dP/dV = -P/V

Hence, slope of the isothermal curve at a point A, where pressure is P1 and volume is V1 -

(dP/dV) isothermal= -P1/V1 —---------(3) 

From equation 2

VΓdP +  Γ PVΓ-1dV = 0

Hence dP/dV = -ΓPVΓ-1 /VΓ = -ΓP/V

Hence, slope of the adiabatic curve at a point A, where pressure is P1 and volume is V1 -

(dP/dV) adiabatic= -ΓP1/V1 —---------(4) 

From equation 3 and 4

(dP/dV) adiabatic=Γ(dP/dV) isothermal

Slope of adiabatic curve = Γ x slope of isothermal curve

आदर्श गैस के लिए, रूद्धोष्म वक्र के ढाल तथा समतापी वक्र के ढाल का अनुपात

आदर्श गैस के लिए समतापी वक्र का समीकरण है

PV = नियतांक —------(1)

रूद्धोष्म वक्र के लिए समीकरण

PVΓ = नियतांक —------(2) 

समीकरण 1 से

PdV + VdP = 0

अत:  dP/dV = -P/V

अत:  बिन्दु A पर समतापी वक्र का ढाल जहाँ दाब  P1 और आयतन  V1 है.

(dP/dV)समतापी  = -P1/V1 —---------(3) 

समीकरण 2 से

VΓdP +  Γ PVΓ-1dV = 0

अत:  dP/dV = -ΓPVΓ-1 /VΓ = -ΓP/V

अत:  बिन्दु A पर रूद्धोष्म वक्र का ढाल जहाँ दाब  P1 और आयतन  V1 है.

(dP/dV) रूद्धोष्म    = -ΓP1/V1 —---------(4)

समीकरण 3 और 4 से

dP/dV) रूद्धोष्म =Γ(dP/dV) समतापी

रूद्धोष्म वक्र का ढाल = Γ x समतापी वक्र का ढाल




द्वारा डाॅ कल्पना सिंह

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