Varignon's Theorem वेरिगनन प्रमेय

                           Varignon's Theorem

वेरिगनन प्रमेय


The algebraic sum of moments of two coplanar forces about a point is equal to the moment of resultant force about that point. 

These coplanar forces may be concurrent forces or parallel forces. 

So, this theorem can be proved for the following three special cases. 

  1. Two concurrent forces

  2. Two like parallel forces

  3. Two unlike parallel forces


किसी बिन्दु के परित: दो समतलीय बलों के बल आघूर्णो का बीजगणितीय योग, परिणामी बल के उसी बिन्दु के परित: आघूर्ण के बराबर होता है.

यह समतलीय बल, समवर्ती या समान्तर बल हो सकते हैं.

अत: यह प्रमेय, निम्न तीन विशेष स्थितियों के लिए सिद्ध किया जा सकता है.

  1. दो समवर्ती बल

  2. दो समदिश समान्तर बल

  3. दो विपरीत दिशा समान्तर बल



This theorem is also used in generalised form, also called generalised theorem of moments of forces. 

According to this theorem, Algebaic sum of the moments of all the coplanar forces of a system about a point on the same plane is equal to the moment of the resultant force of the system about the same point. 

यह प्रमेय, सामान्यीकृत रूप में भी प्रयोग की जा सकती है. यह बल आघूर्णो का सामान्यीकृत प्रमेय कहलाता है. 

इस प्रमेय के अनुसार, किसी समतल पर किसी बिन्दु के परित: सभी समतलीय बलों के बल आघूर्णो का बीजगणितीय योग, परिणामी बल के उसी बिन्दु के परित: आघूर्ण के बराबर होता है.



Proof of Varignon's Theorem for two concurrent forces

We consider two concurrent coplanar forces P and Q acting at a point O. These forces are being represented by the lines OA and OB in the fig 1. Now we complete the parallelogram OACB. Diagonal OC represents the resultant R of the two forces P and Q. 

Let the moment of these forces be taken about a point D on the plane of given coplanar forces. 

According to point D, there two cases. 

दो समवर्ती बलों के लिए वेरिगनन प्रमेय

एक बिन्दु O पर कार्यरत दो बल P और Q लेते हैं, चित्र 1 में यह बल OA एवं OB रेखाओं से दर्शाए गए हैं. अब समान्तर चतुर्भुज OACB पूर्ण करते हैं. विकर्ण OC दो बलों P और Q के परिणामी बल R को दर्शाता है.

इन बलों के आघूर्णो को समतलीय बलों के तल में बिन्दु D के परित: लेते हैं. 

बिन्दु D के अनुसार, दो स्थितियां होगी.

 
     


         

     



Two forces are like and parallel

According to fig 3, two like and parallel forces P and Q are acting at points A and B respectively, and resultant R of these two forces is acting at point C. The moment of forces are being taken about the point D. 

दो बल समदिश और समान्तर है

चित्र 3 के अनुसार, दो समदिश और समान्तर बल P और Q क्रमशः बिन्दु A और B पर कार्य कर रहे हैं. इन दोनों बलों का परिणामी बल  R बिन्दु C पर कार्य कर रहा है. बल आघूर्णो को बिन्दु D के परित: लिया जा रहा है.

       



1- Point D is outside the AB- fig 3

Magnitude of resultant force 

R = P+Q —-------1

Position of R ie C, is decided by Principle of moment. ie

P x AC = Q x BC —-------------2

The algebraic sum of moment of forces P and Q about the point D =PxAD+QxBD

= Px(AC+CD) +Qx(CD-BC) 

= PxAC+PxCD+QxCD-QxBC

= (P+Q) x CD+PxAC-QxBC

Using equation 1 and 2

The algebraic sum of moment of forces P and Q about the point D

= RxCD+0

= RxCD

= moment of resultant R about D



1- बिन्दु D, AB से बाहर है, चित्र 3

परिणामी बल का परिमाण

R = P+Q —-------1

आघूर्णो के सिद्धांत से परिणामी बल की स्थिति निर्धारित करते हैं, जो कि C है

P x AC = Q x BC —-------------2

P और Q बलों का बिन्दु D के परित: बल आघूर्णो का बीजगणितीय योग

=PxAD+QxBD

= Px(AC+CD) +Qx(CD-BC) 

= PxAC+PxCD+QxCD-QxBC

= (P+Q) x CD+PxAC-QxBC

समीकरण 1 और 2 से

P और Q बलों का बिन्दु D के परित: बल आघूर्णो का बीजगणितीय योग

= RxCD+0

= RxCD

= बिन्दु D के परित: परिणामी बल R का बल आघूर्ण


        


2- Point D is inside the AB- fig 4

Magnitude of resultant force 

R = P+Q —-------1

Position of R ie C, is decided by Principle of moment. ie

P x AC = Q x BC —-------------2

Moment of P about the point D is anticlockwise and moment of Q about D is clockwise. 

The algebraic sum of moment of forces P and Q about the point D =PxAD-QxBD

= Px(AC+CD) -Qx(BC-CD) 

= PxAC+PxCD-QxBC+QxCD

= (P+Q) x CD+PxAC-QxBC

Using equation 1 and 2

The algebraic sum of moment of forces P and Q about the point D

= RxCD+0

= RxCD

= moment of resultant R about D


2- बिन्दु D, AB के अंदर है , चित्र 4

परिणामी बल का परिमाण

R = P+Q —-------1

आघूर्णो के सिद्धांत से परिणामी बल की स्थिति निर्धारित करते हैं, जो कि C है

P x AC = Q x BC —-------------2

बिन्दु D के परित: बल P का बल आघूर्ण घड़ी की सुई के विपरीत दिशा में है एवं बिन्दु D के परित: Q का बल आघूर्ण घड़ी की सुई की दिशा में है

P और Q बलों का बिन्दु D के परित: बल आघूर्णो का बीजगणितीय योग

=PxAD-QxBD

= Px(AC+CD) -Qx(BC-CD) 

= PxAC+PxCD-QxBC+QxCD

= (P+Q) x CD+PxAC-QxBC

समीकरण 1 और 2 से

P और Q बलों का बिन्दु D के परित: बल आघूर्णो का बीजगणितीय योग

= RxCD+0

= RxCD

= बिन्दु D के परित: परिणामी बल R का बल आघूर्ण


Two forces are unlike and parallel

     


1- Point D is outside the AB- fig 5

Magnitude of resultant force 

R = P-Q —-------1

Position of R ie C, is decided by Principle of moment. ie

P x AC = Q x BC —-------------2

Moment of P about the point D is anticlockwise and moment of Q about D is clockwise. 

The algebraic sum of moment of forces P and Q about the point D =PxAD-QxBD

= Px(AC+CD) -Qx(BC+CD) 

= PxAC+PxCD-QxBC-QxCD

= (P-Q) x CD+PxAC-QxBC

Using equation 1 and 2

The algebraic sum of moment of forces P and Q about the point D

= RxCD+0

= RxCD

= moment of resultant R about D


दो बल विपरीत दिशा और समान्तर है

1- बिन्दु D, AB से बाहर है, चित्र 5

परिणामी बल का परिमाण

R = P-Q —-------1

आघूर्णो के सिद्धांत से परिणामी बल की स्थिति निर्धारित करते हैं, जो कि C है

P x AC = Q x BC —-------------2

बिन्दु D के परित: बल P का बल आघूर्ण घड़ी की सुई के विपरीत दिशा में है एवं बिन्दु D के परित: Q का बल आघूर्ण घड़ी की सुई की दिशा में है

P और Q बलों का बिन्दु D के परित: बल आघूर्णो का बीजगणितीय योग

=PxAD-QxBD

= Px(AC+CD) -Qx(BC+CD) 

= PxAC+PxCD-QxBC-QxCD

= (P-Q) x CD+PxAC-QxBC

समीकरण 1 और 2 से

P और Q बलों का बिन्दु D के परित: बल आघूर्णो का बीजगणितीय योग

= RxCD+0

= RxCD

= बिन्दु D के परित: परिणामी बल R का बल आघूर्ण



2- Point D is inside the AB- fig 6



Magnitude of resultant force 

R = P-Q —-------1

Position of R ie C, is decided by Principle of moment. ie

P x AC = Q x BC —-------------2

The algebraic sum of moment of forces P and Q about the point D =-PxAD-QxBD

= -Px(CD-AC) -Qx(BC-CD) 

= -PxCD+PxAC+QxCD-QxBC

= -(P-Q) x CD+PxAC-QxBC

Using equation 1 and 2

The algebraic sum of moment of forces P and Q about the point D

= -RxCD+0

= -RxCD

= moment of resultant R about D

Negative sign indicates that the moment of resultant force R about the point D is clockwise. 


2- बिन्दु D, AB के अंदर है, चित्र 6

परिणामी बल का परिमाण

R = P-Q —-------1

आघूर्णो के सिद्धांत से परिणामी बल की स्थिति निर्धारित करते हैं, जो कि C है

P x AC = Q x BC —-------------2

P और Q बलों का बिन्दु D के परित: बल आघूर्णो का बीजगणितीय योग

=-PxAD-QxBD

= -Px(CD-AC) -Qx(BC-CD) 

= -PxCD+PxAC+QxCD-QxBC

= -(P-Q) x CD+PxAC-QxBC

समीकरण 1 और 2 से

P और Q बलों का बिन्दु D के परित: बल आघूर्णो का बीजगणितीय योग

= -RxCD+0

= -RxCD

= बिन्दु D के परित: परिणामी बल R का बल आघूर्ण

 ऋणात्मक चिन्ह यह दर्शाता है कि परिणामी बल R का बिन्दु D के परित: बल आघूर्ण, घड़ी की सुई की दिशा में है


The principle of moment that is used above is given here. 

Principle of moment


If algebraic sum of moments of all the forces acting on a body about a point is zero, then body will be in the state of rotational equilibrium. 

Or

If sum of anticlockwise moments about a given point is equal to sum of clockwise moments about the same point, the body is said to be in rotational equilibrium. 

बल आघूर्ण का सिद्धांत, जिसे ऊपर प्रयोग किया गया है, निम्नवत है.

यदि किसी पिण्ड पर कार्यरत सभी बलों का किसी बिन्दु के परित: आघूर्णो का बीजगणितीय योग शून्य हो तो पिण्ड घूर्णी साम्य की अवस्था मे होगा.

या

यदि किसी बिन्दु के परित: वामावर्त बल आघूर्णो का योग, उसी बिन्दु के परित: दक्षिणावर्त आघूर्णो के योग के बराबर हो तो पिण्ड घूर्णी साम्य की अवस्था मे होगा.




Generalised form of Varignon's theorem for two or more than two concurrent forces

We have a set of N force vectors given by f1, f2, f3, —-----fN . (fig7).These forces concur at a point O as shown in figure. The resultant of these forces is given by 

                       F = Σi=1Nfi

The moment of each of these force vectors with respect to some other point O1 is


Ti = (O-O1) x fi  it is cross product of position vector O-O1 and fi the corresponding force vector. 

So the total torque about the point O1 is

T =  Σi=1NTi =   Σi=1N(O-O1) x fi = (O-O1)xΣi=1N  fi  = (O-O1)xF 

That is the sum of the torques due to the force vectors f1, f2, f3, —-----fN about O,1 is same as the torque of the sum of the forces F about the same point. 


दो या दो से अधिक समवर्ती बलों के लिए वेरिगनन प्रमेय का सामान्यीकृत रूप

हमारे पास N बलों के सदिश f1, f2, f3, —-----fN क्रमशः है.(चित्र 7).चित्रानुसार यह बल बिन्दु O पर मिलते हैं. इन बलों का परिणामी बल निम्न हैं.

                    F = Σi=1Nfi


एक अन्य बिन्दु O1 के संदर्भ में इनमें से प्रत्येक बल का बल आघूर्ण

                   Ti = (O-O1) x fi

यह स्थिति सदिश  O-O1 और संगत बल सदिश  fi  का सदिश गुणन है.

अत: बिन्दु O1 के परित: कुल बल आघूर्ण

T =  Σi=1NTi =   Σi=1N(O-O1) x fi = (O-O1)xΣi=1N  fi  = (O-O1)xF 

अर्थात बिन्दु O1 के परित: f1, f2, f3, —-----fN  बल सदिशों के आघूर्णो का योग, उसी बिन्दु के परित: सभी बलों के योग  F के बल आघूर्ण के बराबर होता है.


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डॉ कल्पना सिंह के साथ

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